Nombre premier mystère - Corrigé

Énoncé

Soit \(p\) un nombre premier tel que \(19p+1\) soit le carré d'un entier. Déterminer \(p\) .

Solution

Par hypothèse, il existe un entier \(a \in \mathbb{Z}\) tel que  \(19p+1=a^2\) , 
et donc  \(19p=a^2-1=(a+1)(a-1)\) .

Comme \(p\) est premier, l'écriture \(19p\) est une décomposition en produit de facteurs premiers.
On en déduit que \(a+1\) et \(a-1\) valent \(1\) , \(19\) , \(p\) ou \(19p\) .

De plus, on a clairement \(a-1. On en déduit que :

• soit \(a-1=1\) , c'est-à-dire  \(a=2\) ,
  donc \(a+1=3\) et \(19p=(a-1)(a+1)=1 \times 3\) ,
  ce qui est impossible car \(19\) ne divise pas \(3\) ;
• soit \(a-1=19\) , c'est-à-dire  \(a=20\) ,
  donc \(a+1=21\) et \(19p=(a-1)(a+1)=19 \times 21\) ,
  donc \(p=21\) , ce qui est absurde car  \(p\)  est premier ;
• soit \(a-1=p\) , c'est-à-dire  \(a=p+1\) ,
  donc \(a+1=p+2\) et \(19p=(a-1)(a+1)=p(p+2)\) ,
  donc \(p+2=19\) et ainsi \(p=17\) .

En conclusion, \(p=17\) .