Nombre premier mystère - Corrigé

Énoncé

Soit $p$ un nombre premier tel que $19p+1$ soit le carré d'un entier. Déterminer $p$ .

Solution

Par hypothèse, il existe un entier $a\in \mathbb{Z}$ tel que  $19p+1=a^2$ , 
et donc  $19p=a^2-1=(a+1)(a-1)$ .

Comme $p$ est premier, l'écriture $19p$ est une décomposition en produit de facteurs premiers.
On en déduit que $a+1$ et $a-1$ valent $1$ , $19$ , $p$ ou $19p$ .

De plus, on a clairement \(a-1. On en déduit que :

• soit $a-1=1$ , c'est-à-dire  $a=2$ ,
  donc $a+1=3$ et $19p=(a-1)(a+1)=1\times 3$ ,
  ce qui est impossible car $19$ ne divise pas $3$ ;
• soit $a-1=19$ , c'est-à-dire  $a=20$ ,
  donc $a+1=21$ et $19p=(a-1)(a+1)=19\times 21$ ,
  donc $p=21$ , ce qui est absurde car  $p$  est premier ;
• soit $a-1=p$ , c'est-à-dire  $a=p+1$ ,
  donc $a+1=p+2$ et $19p=(a-1)(a+1)=p(p+2)$ ,
  donc $p+2=19$ et ainsi $p=17$ .

En conclusion, $p=17$ .